作为结构化认知功的美——完整的数学核心

这是 TITI 的科学层，专为需要实际运行机制而非宣传口号的读者编写。它以出厂发布其他所有内容的标准完整地陈述了该引擎的美学核心：附带其公式，并对其声称和不声称的内容进行了明确界定。核心主张是一次重构。 美不被视为客体的静态标量属性。它被建模为在有界耗散和相位相干下，由客体诱导的势场在观察者的预测模型上、沿着信息流形上的轨迹所做的结构化认知功。该模型是作为一个自洽的理论框架和诊断工具而提出的，而非已被证实的脑物理定律。其目的是操作性的：将审美体验转化为可测量的设计假设——认知成本、结构化奥秘、相位对齐、解释容量以及轨迹本身的价值。

本体论：客体、主体与穿过模型空间的路径

一个审美客体——无论是图像、音乐、界面、建筑、品牌系统，甚至是一个数学公式——其本身绝不被直接评分。相反，客体在观察者的内部预测模型空间上诱导出一个场。主体不被表示为一个固定的偏好向量，而是表示为具有内部模型状态的预测认知系统。模型状态是流形上的一个点，

m(t)\in\mathcal{M}

而审美体验则是观察者在与客体互动时该状态的轨迹：

\gamma(t):[0,T]\to\mathcal{M},\qquad \gamma(0)=m_{0},\ \ \gamma(T)=m_{T}

这是首要且承重的步骤：审美价值是观察者模型所经历的路径的属性，而非仅由客体本身决定。

信息流形与 Fisher-Rao 度规

观察者的内部模型被视为参数化分布族，因此模型空间具有统计学的自然几何。该度规为 Fisher 信息矩阵：

g_{ij}(\theta)=\mathbb{E}_{x\sim p(x\mid\theta)}\!\left[\frac{\partial\log p(x\mid\theta)}{\partial\theta_{i}}\,\frac{\partial\log p(x\mid\theta)}{\partial\theta_{j}}\right]

该度规测量了观察者区分邻近预测状态的难易程度。在 Fisher-Rao 度规下接近的状态之间转移只需较低的认知成本；而相距较远的状态则需要更多的功。因此，审美距离不是平坦的——相同的视觉差异对一个观察者可能很容易，而对另一个观察者可能很困难，因为他们的内部流形具有不同的曲率。两个认知状态之间的距离即测地线长度：

D_{g}(m_{a},m_{b})=\inf_{\gamma}\int_{0}^{T}\!\sqrt{g_{ij}(\gamma(t))\,\dot{\gamma}^{i}(t)\,\dot{\gamma}^{j}(t)}\;dt

客体诱导的审美势能

客体在模型空间上诱导出一个标量势场。在每个模型状态下，其值代表客体所产生的未解决自由能张力、预测失配或解释性潜力。它可以与观察者模型相对于客体输入的变分自由能等同：

\Phi_{O}:\mathcal{M}\to\mathbb{R},\qquad \Phi_{O}(m)=\mathcal{F}(O,m)

这有意地不退化为自由能原理。该原理探讨的是有机体如何最小化自由能以维持内稳态；而这里的问题是，客体如何塑造一条穿越自由能景观的轨迹，使得该路径在认知上具有价值、在相位上相干且不会被平庸地化解。该引擎不奖励尽可能低的自由能——它奖励在丰富景观中的结构化运动。客体对解释施加的力是该势能的度规梯度：

F_{\mathrm{aest}}=-\nabla_{g}\Phi_{O},\qquad (\nabla_{g}\Phi)^{i}=g^{ij}\frac{\partial\Phi}{\partial q^{j}}

一个乏味的客体具有浅显、平庸的场；一个混乱的客体具有不相干的场；而杰作则具有深邃、结构化且包含多吸引子的场。

结构化奥秘，区分于噪声

惊奇感会衰减——如果美仅仅是惊奇，那么一部熟悉的杰作将失去所有价值。因此，模型需要一个静态但结构化的部分。由于解释层在统计上是相关的，简单的加权求和会导致重复计算；修正后的形式使用了熵的链式法则：

H_{\mathrm{mystery}}(O,S)=H(L_{1})+\sum_{i=2}^{n}H\!\bigl(L_{i}\mid L_{i-1},\dots,L_{1}\bigr)

其中解释层 L_1, L_2, …, L_n 承载了构图、符号、语境、原型、文化以及更高阶的解释不确定性（符号写为 L_i 而非 H_i，以避免被解读为“熵之熵”）。在计入较低层之后，每个条件项仅增加了剩余的结构化不确定性，从而避免了重复计算。奥秘与噪声被严密区分。噪声是不可压缩的随机性，它在不增加相干解释的情况下提高成本；而奥秘是可压缩但尚未耗尽的结构，它引导着进一步的解释：

H_{\mathrm{mystery}}=H_{\mathrm{total}}-H_{\mathrm{noise}}-H_{\mathrm{resolved}}

生成性解释容量

设客体在主体中生成的稳定解释集合为解释空间，每个稳定解释都是观察者认知动力学的吸引子。当生成器平庸时，解释体积极与生成器复杂度的朴素比例会发生发散——从而错误地使随机关联触发器看起来具有无限价值。正则化形式修正了这一点，并奖励相干的丰富性：

\mathrm{GIC}^{*}(O,S)=\frac{\mathrm{Vol}\bigl(\Omega(O,S)\bigr)\cdot \mathrm{Coh}(\Omega)}{K_{\mathrm{gen}}(O)+\varepsilon}

该比例中的项已被命名，但尚未完全确定：解释体积 Vol(Ω) 和生成器复杂度 K_gen——无论其实现为 Kolmogorov 复杂度、描述/实现长度、组件数量还是依赖图度量——仍需针对具体媒介进行操作化。照此写来，该比例是一个格式良好的假设，而非一个现成的估计器；结尾的框架保持了这一区别的明确性。

相干因子惩罚了随机的关联爆炸：高值要求存在许多解释，并且这些解释之间存在结构化相干，而非许多互不相关的关联。它通过特征解释距离尺度 τ 进行归一化，使得指数无量纲，并在所有稳定解释对上取平均值：

\mathrm{Coh}(\Omega)=\exp\!\left(-\frac{1}{\tau}\,\mathbb{E}_{i,j}\bigl[D_{g}(x_{i}^{*},x_{j}^{*})\bigr]\right),\qquad \mathbb{E}_{i,j}[\,\cdot\,]=\frac{1}{\mathrm{Vol}(\Omega)^{2}}\int_{\Omega}\!\int_{\Omega}(\cdot)\,d\mu(x_{i}^{*})\,d\mu(x_{j}^{*})

相位相干——时机，于存在时机之处

每个动态审美特征都写为复振幅和相位信号。相位并非比喻：它仅在存在真实的定时、节奏或振荡时才被引入——例如音乐、动画定时、滚动节奏、扫视定时、交互延迟、呈现时机以及注意力周期。

z_{k}(t)=A_{k}(t)\,e^{i\theta_{k}(t)}

将客体和主体的动态状态表示在 Hilbert 空间中，归一化的相位相干性即为它们的有界内积对齐：

\mathrm{PC}(O,S,t)=\frac{\bigl|\langle z_{O}(t),z_{S}(t)\rangle\bigr|}{\lVert z_{O}(t)\rVert\,\lVert z_{S}(t)\rVert},\qquad 0\le \mathrm{PC}\le 1

对于动态系统，这测量了真实的定时对齐——在界面中，高相位相干性意味着运动、呈现和响应恰好在用户的注意力准备好接收时到达。对于静态人工制品，相位不被直接应用：它仅通过该制品诱导的注意力轨迹引入——即眼睛阅读构图以及各层随时间展开的顺序。在无法测量这种注意力序列的地方，相位相干性会被结构对齐所取代，而不是强行套用在静态图像上。

哈密顿表述

以认知模型位置作为广义坐标，广义认知动量是经流形局部曲率加权的速度——因此在高度弯曲区域中微小的概念移动也可以携带巨大的动量：

p_{i}=g_{ij}(q)\,\dot{q}^{j}

认知动能是模型运动的能量——高值对应于观察者预测的快速重构。它是以两种等效方式书写的同一能量：通过作用于速度的度规（协变 g_{ij}），以及——在将速度降低到上述共轭动量之后——通过作用于动量的逆度规（逆变 g^{ij}）。动量形式中的上标正是对 p_i 中下标的抵消：

T(q,\dot{q})=\tfrac{1}{2}\,g_{ij}(q)\,\dot{q}^{i}\dot{q}^{j}\qquad\text{(velocity form, covariant metric)}

T(q,p)=\tfrac{1}{2}\,g^{ij}(q)\,p_{i}\,p_{j}\qquad\text{(momentum form, inverse metric)}

审美势能将客体场与奥秘及相位相干结合；负号意味着高奥秘和高相位相干创造了引力势阱，拉动认知进入更深层次的参与：

V(q,O,S)=\Phi_{O}(q)-\kappa\,H_{\mathrm{mystery}}(O,S,q)-\rho\,\mathrm{PC}(O,S,q)

审美哈密顿量是动能项与势能项之和——即审美状态的诊断能量：

\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}(q,p)=\tfrac{1}{2}\,g^{ij}(q)\,p_{i}p_{j}+\Phi_{O}(q)-\kappa\,H_{\mathrm{mystery}}(O,S,q)-\rho\,\mathrm{PC}(O,S,q)

在理想的非耗散情况下，动力学遵循哈密顿方程；这是纯粹冥想的理想化状态，没有疲劳，也没有干扰：

\dot{q}^{i}=\frac{\partial\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{\partial p_{i}},\qquad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{\partial q^{i}}

开放非平衡耗散平衡——核心平衡方程

真实的认知并非理想状态。引入耗散成本率和结构化输入通量将系统转变为一个开放系统，受该模型核心的开放系统平衡方程支配（这是对热力学平衡的类比，而非对物理热力学的主张）：

\frac{d\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{dt}=-\lambda\,C(t)+\mathcal{I}_{\mathrm{input}}(t)

当客体提供足够的结构化输入以补偿认知耗散，且不破坏相干性时，美便得以延续。从这一单一平衡中，不同的认知机制作为特例应运而生。

认知机制

无聊并非熟悉；它是耗散失衡——客体停止支付注意力的成本，轨迹坍缩至一个平庸的极小值：

\mathcal{I}_{\mathrm{input}}(t)<\lambda\,C(t)\ \Rightarrow\ \dot{q}\to 0,\ p\to 0,\ H_{\mathrm{mystery}}\to 0

过载不仅是高复杂度；它是相干解释的丧失——信息过多过快，观察者无法实现锁相，解释变得不稳定：

\mathcal{I}_{\mathrm{input}}(t)\gg\lambda\,C(t)\ \Rightarrow\ \mathrm{PC}\to 0,\ \mathrm{Coh}(\Omega)\to 0

审美心流是平衡的开放系统动力学：输入与成本达成平衡，奥秘仍保持结构化，相位相干性高，观察者被保留在审美场内。持久的美是经受住反复接触后仍能存续的同一平衡——它得以持久并非因为它产生无尽的惊奇，而是因为它保持了稳定的结构化奥秘和相干的解释容量：

\frac{d\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{dt}\approx 0,\qquad H_{\mathrm{mystery}}>0,\ \ \mathrm{PC}\to 1,\ \ \mathrm{GIC}^{*}\gg 0

完整的审美作用量泛函

汇总各项，在感知区间内实现的审美价值是沿轨迹积分的认知功乘以相干解释容量：

\mathcal{B}_{v2.6}[\gamma]=\mathrm{GIC}^{*}(O,S)\int_{0}^{T}\!\left[\alpha\!\left(-\frac{d\Phi_{O}(\gamma(t))}{dt}\right)+\beta\,\frac{H_{\mathrm{mystery}}(O,S,t)}{T_{\mathrm{char}}}+\eta\,\nu_{\mathrm{res}}\,\mathrm{PC}(O,S,t)-\lambda\,C(t)\right]dt

每个项都带有一个解析为信息通量率（纳特每秒）的量纲：势流项、结构化奥秘释放率、相位相干采样率，对抗认知成本率。积分是以纳特为单位的总审美功；解释容量倍数则是无量纲的。

项	含义	工程可观测属性
$\Phi_{O}$	客体诱导的预测失配场	模型在人工制品状态上的更新率
$H_{\mathrm{mystery}}$	结构化、未解决的解释深度	引导进一步解读的未解决语义深度
$\mathrm{PC}$	客体与主体动力学的定时对齐	UI 动作/呈现与用户行为的对齐
$\lambda C(t)$	认知成本 / 耗散	延迟、犹豫、回溯、过载
$\mathrm{GIC}^{*}$	单位复杂度的相干解释容量	单位实现复杂度的稳定旅程容量

该数学模型声称了什么，未声称什么

可声称

可以声称的内容：一个自洽的公式化框架，将审美体验转化为可测量的设计假设——认知成本、结构化奥秘、相位对齐、解释容量和轨迹价值——并将其建模为 Fisher-Rao 信息流形上沿轨迹积分的认知功，配有诊断性哈密顿量、开放耗散平衡方程以及可证伪的认知状态（无聊、过载、心流、持久的美）。

不可声称

不可声称的内容：这不是一项已测量的脑物理定律，审美哈密顿量亦非守恒的物理量，该模型在目前也并未完全具体化为一个计算器。它是一个用于对认知审美动力学建模的公式化诊断不变量，而非已证实的守恒定律。

明确的限制

明确的限制：该框架命名了这些力和平衡，但尚未完全具体说明如何去测量每一个。客体势 Φ_O、认知成本 C(t)、输入通量 I_input(t)、噪声和已解决的熵、生成器复杂度 K_gen、解释空间 Ω，以及常数 ν_res 和 T_char 仅被阐述为可估计的可观测属性，而非带有单位和操作流程的固定算符。每一项是否可以仅通过遥测数据恢复，还是需要诸如眼动追踪等仪器，这是一个开放的研究边界——并且已被如实陈述。在这些算符被最终确定之前，这只是一个建模框架，而非现成的计算器。

为何完整发表

为什么要完整发表：一个自洽的理论框架，连同其公式和边界一同陈述，是科学层的科学诚实契约——营销层说明 TITI 做了什么；本层则说明为什么它是这样构建的，以及目前其证据止步于何处。

该模型最强有力的紧凑陈述：美是由客体诱导的信息势场产生的、沿轨迹积分的认知功，乘以相干解释容量，并受到相位对齐和认知耗散的约束。

参考文献

Amari, S. & Nagaoka, H. — Methods of Information Geometry (Fisher-Rao 度规，统计流形) — https://doi.org/10.1090/mmono/191
Friston, K. — The free-energy principle: a unified brain theory? (变分自由能) — https://doi.org/10.1038/nrn2787
Itti, L. & Baldi, P. — Bayesian surprise attracts human attention (惊奇与注意力) — https://doi.org/10.1016/j.visres.2008.09.007