Краса як структурована когнітивна робота — повне математичне ядро

Технічна нотатка · версія 1.1 · 15 жовтня 2026 · без рецензування

Це науковий рівень TITI, написаний для читача, якому потрібен реальний механізм, а не гасло. Він повністю викладає естетичну модель, на яку спирається дизайнерське мислення Titi, з формулами та чіткими межами того, на що він претендує, а на що ні. Центральне твердження — це зміна ракурсу. Краса не розглядається як статична скалярна властивість об'єкта. Вона моделюється як структурована когнітивна робота, що виконується індукованим об'єктом потенціальним полем над прогностичною моделлю спостерігача вздовж траєкторії на інформаційному многовиді за умов обмеженої дисипації та фазової когерентності. Модель представлена як узгоджена теоретична база та діагностичний інструмент — а не як доведений фізичний закон роботи мозку. Її мета операційна: перетворити естетичний досвід на вимірювані гіпотези проєктування — когнітивну вартість, структуровану загадковість, фазове узгодження, інтерпретаційну здатність та цінність самої траєкторії.

Онтологія: об'єкт, суб'єкт і шлях у просторі моделей

Естетичний об'єкт — зображення, музичний твір, інтерфейс, будівля, брендингова система чи навіть математична формула — ніколи не оцінюється як красивий сам по собі. Замість цього об'єкт індукує поле у просторі внутрішніх прогностичних моделей спостерігача. Суб'єкт представлений не як фіксований вектор уподобань, а як прогностична когнітивна система з внутрішніми станами моделей. Стан моделі — це точка на многовиді,

m(t)\in\mathcal{M}

а естетичний досвід є траєкторією цього стану під час взаємодії спостерігача з об'єктом:

\gamma(t):[0,T]\to\mathcal{M},\qquad \gamma(0)=m_{0},\ \ \gamma(T)=m_{T}

Це перший і опорний крок: естетична цінність є властивістю шляху, яким рухається модель спостерігача, а не самого лише об'єкта.

Інформаційний многовид та метрика Fisher-Rao

Внутрішні моделі спостерігача вважаються параметричним сімейством розподілів, тому простір моделей має природну геометрію статистики. Метрикою виступає матриця інформації Fisher:

g_{ij}(\theta)=\mathbb{E}_{x\sim p(x\mid\theta)}\!\left[\frac{\partial\log p(x\mid\theta)}{\partial\theta_{i}}\,\frac{\partial\log p(x\mid\theta)}{\partial\theta_{j}}\right]

Ця метрика вимірює, наскільки важко спостерігачеві розрізнити близькі прогностичні стани. Між станами, які є близькими за метрикою Fisher-Rao, можна переходити з низькими когнітивними витратами; стани, які знаходяться далеко один від одного, вимагають більше роботи. Естетична відстань, отже, не є плоскою — одна й та сама візуальна різниця може бути легкою для одного спостерігача і важкою для іншого, оскільки їхні внутрішні многовиди мають різну кривизну. Відстань між двома когнітивними станами є довжиною геодезичної лінії:

D_{g}(m_{a},m_{b})=\inf_{\gamma}\int_{0}^{T}\!\sqrt{g_{ij}(\gamma(t))\,\dot{\gamma}^{i}(t)\,\dot{\gamma}^{j}(t)}\;dt

Індукований об'єктом естетичний потенціал

Об'єкт індукує скалярне потенціальне поле у просторі моделей. У кожному стані моделі його значення представляє невирішене напруження вільної енергії, прогностичну невідповідність або інтерпретаційний потенціал, який створює об'єкт. Його можна ототожнити з варіаційною вільною енергією моделі спостерігача відносно вхідних даних об'єкта:

\Phi_{O}:\mathcal{M}\to\mathbb{R},\qquad \Phi_{O}(m)=\mathcal{F}(O,m)

Це свідомо не зводиться до принципу вільної енергії (Free Energy Principle). Цей принцип запитує, як організм мінімізує вільну енергію для збереження гомеостазу; тут же питання полягає в тому, як об'єкт формує траєкторію через ландшафт вільної енергії так, щоб шлях був когнітивно цінним, фазово-когерентним і не вирішувався тривіально. Рушій не винагороджує найнижчу можливу вільну енергію — він винагороджує структурований рух крізь багатий ландшафт. Сила, яку об'єкт чинить на інтерпретацію, є метричним градієнтом потенціалу:

F_{\mathrm{aest}}=-\nabla_{g}\Phi_{O},\qquad (\nabla_{g}\Phi)^{i}=g^{ij}\frac{\partial\Phi}{\partial q^{j}}

Нудний об'єкт має мілке, тривіальне поле; хаотичний об'єкт — некогерентне; шедевр — глибоке, структуроване поле з багатьма атракторами.

Структурована загадковість, відмінна від шуму

Здивування згасає — знайомий шедевр втратив би будь-яку цінність, якби краса полягала лише в несподіванці. Тому моделі потрібен статичний, але структурований компонент. Оскільки інтерпретаційні шари є статистично залежними, наївна зважена сума призвела б до подвійного врахування; скоригована форма використовує ланцюгове правило ентропії:

H_{\mathrm{mystery}}(O,S)=H(L_{1})+\sum_{i=2}^{n}H\!\bigl(L_{i}\mid L_{i-1},\dots,L_{1}\bigr)

де інтерпретаційні шари L_1, L_2, …, L_n несуть композиційну, символічну, контекстуальну, архетипову, культурну та вищого порядку інтерпретаційну невизначеність (символи записані як L_i, а не H_i, щоб уникнути трактування «ентропія ентропії»). Кожен умовний член додає лише ту структуровану невизначеність, яка залишається після врахування нижчих шарів, тому ніщо не враховується двічі. Загадковість чітко відокремлена від шуму. Шум — це нестислива випадковість, яка підвищує витрати без додавання когерентної інтерпретації; загадковість — це стислива, але ще не вичерпана структура, яка спонукає до подальшої інтерпретації:

H_{\mathrm{mystery}}=H_{\mathrm{total}}-H_{\mathrm{noise}}-H_{\mathrm{resolved}}

Генеративна інтерпретаційна здатність

Нехай множина стабільних інтерпретацій, які об'єкт генерує у суб'єкта, буде простором інтерпретацій, де кожна стабільна інтерпретація є атрактором когнітивної динаміки спостерігача. Наївне відношення об'єму інтерпретацій до складності генератора розбігається, коли генератор є тривіальним, що помилково робить тригери випадкових асоціацій нескінченно цінними. Регуляризована форма виправляє це і винагороджує когерентне багатство:

\mathrm{GIC}^{*}(O,S)=\frac{\mathrm{Vol}\bigl(\Omega(O,S)\bigr)\cdot \mathrm{Coh}(\Omega)}{K_{\mathrm{gen}}(O)+\varepsilon}

Члени в цьому відношенні названі, але ще не закріплені остаточно: об'єм інтерпретацій Vol(Ω) та складність генератора K_gen — чи реалізовані вони як складність Колмогорова, довжина опису/реалізації, кількість компонентів чи міра графа залежностей — усе ще мають бути операціоналізовані для кожного середовища окремо. У представленому вигляді відношення є коректно сформульованою гіпотезою, а не готовою оцінкою; фінальна рамка експліцитно зберігає це розмежування.

Коефіцієнт когерентності штрафує вибух випадкових асоціацій: високе значення вимагає багатьох інтерпретацій та структурованої когерентності між ними, а не великої кількості непов'язаних асоціацій. Він нормується характерним масштабом відстані між інтерпретаціями τ, тому показник степеня є безрозмірним, а усереднення проводиться за всіма парами стабільних інтерпретацій:

\mathrm{Coh}(\Omega)=\exp\!\left(-\frac{1}{\tau}\,\mathbb{E}_{i,j}\bigl[D_{g}(x_{i}^{*},x_{j}^{*})\bigr]\right),\qquad \mathbb{E}_{i,j}[\,\cdot\,]=\frac{1}{\mathrm{Vol}(\Omega)^{2}}\int_{\Omega}\!\int_{\Omega}(\cdot)\,d\mu(x_{i}^{*})\,d\mu(x_{j}^{*})

Фазова когерентність — таймінг, там де він існує

Кожна динамічна естетична ознака записується як комплексний амплітудно-фазовий сигнал. Фаза — це не метафора: вона допускається лише там, де існує справжній таймінг, ритм або осциляція — музика, таймінг анімації, ритм прокручування, саккадичний таймінг, затримка взаємодії, таймінг розкриття, цикли уваги.

z_{k}(t)=A_{k}(t)\,e^{i\theta_{k}(t)}

Представляючи динамічні стани об'єкта та суб'єкта в гільбертовому просторі, нормована фазова когерентність є їхнім обмеженим узгодженням через внутрішній добуток:

\mathrm{PC}(O,S,t)=\frac{\bigl|\langle z_{O}(t),z_{S}(t)\rangle\bigr|}{\lVert z_{O}(t)\rVert\,\lVert z_{S}(t)\rVert},\qquad 0\le \mathrm{PC}\le 1

Для динамічних систем це вимірює реальне узгодження за часом (таймінг) — в інтерфейсі висока фазова когерентність означає, що рух, розкриття та відгук з'являються саме тоді, коли увага користувача готова їх сприйняти. Для статичного артефакту фаза не застосовується безпосередньо: вона входить лише через траєкторію уваги, яку індукує артефакт, — порядок, у якому око зчитує композицію, а її шари розгортаються з часом. Там, де така послідовність уваги не піддається вимірюванню, фазова когерентність замінюється структурним узгодженням, а не накладається штучно на нерухоме зображення.

Гамільтонівське формулювання

Якщо положення когнітивної моделі є узагальненою координатою, то узагальнений когнітивний імпульс — це швидкість, зважена локальною метрикою многовиду, тому невеликий концептуальний рух у зоні, де близькі стани легко розрізнити (велика інформація Фішера), може нести великий імпульс:

p_{i}=g_{ij}(q)\,\dot{q}^{j}

Кінетична когнітивна енергія — це енергія руху моделі; високі значення відповідають швидкій перебудові прогнозів спостерігача. Це одна й та сама енергія, записана двома еквівалентними способами: коли метрика діє на швидкості (коваріантна g_{ij}), та — після опускання швидкості до спряженого імпульсу вище — коли обернена метрика діє на імпульси (контраваріантна g^{ij}). Піднятий індекс у формі імпульсу — це саме те, що скасовує опущений індекс у p_i:

T(q,\dot{q})=\tfrac{1}{2}\,g_{ij}(q)\,\dot{q}^{i}\dot{q}^{j}\qquad\text{(velocity form, covariant metric)}

T(q,p)=\tfrac{1}{2}\,g^{ij}(q)\,p_{i}\,p_{j}\qquad\text{(momentum form, inverse metric)}

Естетичний потенціал об'єднує поле об'єкта із загадковістю та фазовою когерентністю; знаки мінус означають, що висока загадковість і висока фазова когерентність створюють привабливі ями, які затягують когнітивну систему в глибше залучення:

V(q,O,S)=\Phi_{O}(q)-\kappa\,H_{\mathrm{mystery}}(O,S,q)-\rho\,\mathrm{PC}(O,S,q)

Естетичний Гамільтоніан є сумою кінетичного та потенціального членів — діагностична енергія естетичного стану:

\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}(q,p)=\tfrac{1}{2}\,g^{ij}(q)\,p_{i}p_{j}+\Phi_{O}(q)-\kappa\,H_{\mathrm{mystery}}(O,S,q)-\rho\,\mathrm{PC}(O,S,q)

В ідеальному, недисипативному випадку динаміка підпорядковується рівнянням Гамільтона; це ідеалізація чистого споглядання, без втоми та перешкод:

\dot{q}^{i}=\frac{\partial\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{\partial p_{i}},\qquad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{\partial q^{i}}

Відкритий дисипативний баланс — центральне рівняння балансу

Реальне пізнання не є ідеальним. Введення дисипативної швидкості витрат та структурованого вхідного потоку перетворює систему на відкриту, керовану рівнянням балансу відкритої системи, що лежить в основі моделі (аналогія з термодинамічним балансом, а не твердження про фізичну термодинаміку):

\frac{d\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{dt}=-\lambda\,C(t)+\mathcal{I}_{\mathrm{input}}(t)

Краса зберігається, коли об'єкт постачає достатньо структурованого вхідного сигналу для компенсації когнітивної дисипації, не порушуючи при цьому когерентності. Описані нижче когнітивні режими — якісне прочитання цього постульованого балансу: гіпотези для перевірки, а не виведені теореми.

Когнітивні режими

Нудьга — це не звикання; це дисипативний дисбаланс — об'єкт перестає компенсувати витрати уваги, і траєкторія колапсує в тривіальний мінімум:

\mathcal{I}_{\mathrm{input}}(t)<\lambda\,C(t)\ \Rightarrow\ \dot{q}\to 0,\ p\to 0,\ H_{\mathrm{mystery}}\to 0

Перевантаження — це не просто висока складність; це втрата когерентної інтерпретації — забагато інформації занадто швидко, коли спостерігач не може синхронізувати фази, а інтерпретації дестабілізуються:

\mathcal{I}_{\mathrm{input}}(t)\gg\lambda\,C(t)\ \Rightarrow\ \mathrm{PC}\to 0,\ \mathrm{Coh}(\Omega)\to 0

Естетичний потік — це збалансована динаміка відкритої системи: вхід та витрати перебувають у рівновазі, загадковість залишається структурованою, фазова когерентність висока, а спостерігач утримується всередині естетичного поля. Довговічна краса — це той самий баланс, що витримує багаторазове сприйняття; вона триває не тому, що викликає нескінченний подив, а тому, що зберігає стабільну структуровану загадковість і когерентну інтерпретаційну здатність:

\frac{d\mathcal{H}_{\mathrm{aest}}}{dt}\approx 0,\qquad H_{\mathrm{mystery}}>0,\ \ \mathrm{PC}\to 1,\ \ \mathrm{GIC}^{*}\gg 0

Повний функціонал естетичної дії

Збираючи всі члени разом, реалізована естетична цінність на інтервалі сприйняття є інтегрованою за траєкторією когнітивною роботою, помноженою на когерентну інтерпретаційну здатність:

\mathcal{B}_{v2.6}[\gamma]=\mathrm{GIC}^{*}(O,S)\int_{0}^{T}\!\left[\alpha\!\left(-\frac{d\Phi_{O}(\gamma(t))}{dt}\right)+\beta\,\frac{H_{\mathrm{mystery}}(O,S,t)}{T_{\mathrm{char}}}+\eta\,\nu_{\mathrm{res}}\,\mathrm{PC}(O,S,t)-\lambda\,C(t)\right]dt

Кожен член має розмірність, яка зводиться до швидкості інформаційного потоку (нати за секунду): член потенціального потоку, швидкість вивільнення структурованої загадковості, частота дискретизації фазової когерентності проти швидкості когнітивних витрат. Інтеграл — це повна естетична робота в натах; множник інтерпретаційної здатності є безрозмірним.

член	значення	інженерна спостережувана величина
$\Phi_{O}$	індуковане об'єктом поле прогностичної невідповідності	швидкість оновлення моделі за станами артефакту
$H_{\mathrm{mystery}}$	структурована, невирішена інтерпретаційна глибина	невирішена семантична глибина, що спонукає до подальшого зчитування
$\mathrm{PC}$	узгодження за часом динаміки об'єкта та суб'єкта	узгодження руху/розкриття інтерфейсу з поведінкою користувача
$\lambda C(t)$	когнітивні витрати / дисипація	затримка, вагання, повернення назад, перевантаження
$\mathrm{GIC}^{*}$	когерентна інтерпретаційна здатність на одиницю складності	здатність до стабільної траєкторії подорожі на одиницю складності реалізації

На що претендує ця математика, а на що ні

На що можна претендувати

На що можна претендувати: узгоджена формальна база, яка переводить естетичний досвід у вимірювані гіпотези проектування — когнітивну вартість, структуровану загадковість, фазове узгодження, інтерпретаційну здатність та цінність траєкторії, — що моделюється як інтегрована за траєкторією когнітивна робота на інформаційному многовиді Fisher-Rao з діагностичним Гамільтоніаном, рівнянням балансу відкритої дисипативної системи та спростовними когнітивними режимами (нудьга, перевантаження, потік, довговічна краса).

На що не можна претендувати

На що не можна претендувати: що це виміряний фізичний закон мозку, або що естетичний Гамільтоніан є фізичною величиною, що зберігається, або що модель сьогодні повністю специфікована як калькулятор. Це формальний діагностичний інваріант для моделювання когнітивної естетичної динаміки, а не доведений закон збереження.

Явне обмеження

Явне обмеження: представлена база називає сили та баланси, але ще не повністю визначає, як ВИМІРЯТИ кожен з них. Потенціал об'єкта Φ_O, когнітивні витрати C(t), вхідний потік I_input(t), шум та вирішені ентропії, складність генератора K_gen, простір інтерпретацій Ω та константи ν_res і T_char заявлені як оцінювані спостережувані величини, а не як фіксовані оператори з одиницями вимірювання та процедурами. Чи можна відновити кожен з них лише за допомогою телеметрії, чи для цього потрібні такі інструменти, як айтрекінг, — це відкрита дослідницька межа, заявлена саме як така. Доки ці оператори не закріплені, це моделювальна структура, а не готовий калькулятор.

Чому опубліковано повністю

Чому це все одно публікується повністю: узгоджена теоретична база, викладена з формулами та межами застосування, є контрактом наукової чесності наукового рівня — маркетинговий рівень говорить, що робить TITI; цей рівень пояснює, чому він структурований саме так і де сьогодні закінчуються його докази.

Найсильніше компактне формулювання моделі: краса — це інтегрована за траєкторією когнітивна робота, що генерується індукованим об'єктом інформаційним потенціальним полем, помножена на когерентну інтерпретаційну здатність та обмежена фазовим узгодженням і когнітивною дисипацією.

Література

Amari, S. & Nagaoka, H. — Methods of Information Geometry (метрика Fisher-Rao, статистичні многовиди) — https://doi.org/10.1090/mmono/191
Friston, K. — The free-energy principle: a unified brain theory? (варіаційна вільна енергія) — https://doi.org/10.1038/nrn2787
Itti, L. & Baldi, P. — Bayesian surprise attracts human attention (здивування та увага) — https://doi.org/10.1016/j.visres.2008.09.007

Твердження та їхній статус

Краса моделюється як когнітивна робота, проінтегрована вздовж траєкторії на інформаційному многовиді.	Теоретична модель
Метрика інформації Фішера вимірює, наскільки важко розрізнити близькі прогностичні стани.	Усталена математика (Рао, Амарі); її застосування до естетичного сприйняття — гіпотеза
Потенціал, індукований об'єктом, ототожнюється з варіаційною вільною енергією.	Модельний вибір; поняття запозичене у Фрістона
Структурована загадка, інтерпретаційна ємність (GIC*) і фазова когерентність — визначені величини.	Теоретична модель; на людях не вимірювалися
Нудьга, перевантаження, потік і стійка краса — режими одного рівняння балансу.	Гіпотеза — якісні прочитання, а не виведені теореми
Формули цієї сторінки обчислює робочий рушій.	Не реалізовано — у пакеті рушія є лише окремий 7-ознаковий відбиток зображення та оцінка відповідності цілі
Цей відбиток розрізняє мінімалістичний і орнаментальний графічний дизайн.	Перевірено на описаній вибірці: 12 + 12 відібраних зображень, whitened silhouette 0,32; вимірює відповідність обраному стилю, а не красу

Позначення та терміни

𝓜: многовид внутрішніх прогностичних моделей спостерігача
m, q: точка 𝓜 (стан моделі); у розділах геометрії позначається m, у гамільтонових — q; це та сама точка
g_ij: метрика інформації Фішера на 𝓜 (геометрія Фішера — Рао)
Φ_O: естетичний потенціал, індукований об'єктом; у цій моделі — варіаційна вільна енергія моделі спостерігача за даного об'єкта
H_mystery: структурована, ще не розв'язана інтерпретаційна невизначеність, у натах (без шуму та вже розв'язаної невизначеності)
GIC*: когерентна породжувальна інтерпретаційна ємність: обсяг стійких інтерпретацій × їхня когерентність на одиницю складності генератора
PC: фазова когерентність динаміки об'єкта і спостерігача, від 0 до 1; лише там, де є реальна часова структура
λ·C(t): швидкість когнітивних витрат (дисипації) з вагою λ
𝓘_input: швидкість структурованого входу, який дає об'єкт
θ: θ — параметри моделі в метриці Фішера і, окремо, фази сигналів θ_k у розділі про фазу

Джерела

Rao, C. R. (1945). Information and the accuracy attainable in the estimation of statistical parameters. Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 37, 81–91.
Amari, S., & Nagaoka, H. (2000). Methods of Information Geometry. Translations of Mathematical Monographs, vol. 191. American Mathematical Society. https://doi.org/10.1090/mmono/191
Cover, T. M., & Thomas, J. A. (2006). Elements of Information Theory (2nd ed.). Wiley. (entropy chain rule)
Friston, K. (2010). The free-energy principle: a unified brain theory? Nature Reviews Neuroscience, 11(2), 127–138. https://doi.org/10.1038/nrn2787
Itti, L., & Baldi, P. (2009). Bayesian surprise attracts human attention. Vision Research, 49(10), 1295–1306. https://doi.org/10.1016/j.visres.2008.09.007
Berlyne, D. E. (1971). Aesthetics and Psychobiology. Appleton-Century-Crofts.
Schmidhuber, J. (2009). Driven by compression progress: a simple principle explains essential aspects of subjective beauty, novelty, surprise, interestingness, attention, curiosity, creativity, art, science, music, jokes. In Anticipatory Behavior in Adaptive Learning Systems, LNCS 5499, 48–76. Springer.
Van de Cruys, S., & Wagemans, J. (2011). Putting reward in art: a tentative prediction error account of visual art. i-Perception, 2(9), 1035–1062.
Pikovsky, A., Rosenblum, M., & Kurths, J. (2001). Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press.
Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 60. Springer.

Як цитувати

Titi Online. «Краса як структурована когнітивна робота: математичне ядро». Технічна нотатка, версія 1.1, 15 жовтня 2026. https://titi.online/mathematics/